Воспользуемся формулой понижения степени косинуса: Получаем: 4 · (1 + cos2x) / 2 - 3 = 2 · (1 + cos2x) - 3 = 2 + 2cos2x - 3 ≥ 0. 2cos2x ≥ 1. cos2x ≥ 1/2. Так как косинус - это абсцисса точки, соответствующей углу α, то проведем на единичной окружности прямую х = 1/2 параллельно оси ординат. Прямая пересечет окружность в двух точках: P1 = arccos 1/2 = π/3; P2 = -arccos 1/2 = -π/3. Неравенству cos2x ≥ 1/2 удовлетворяют точки меньшей дуги. Найдем все точки меньшей дуги: 2х ∈ [-π/3; π/3]. Учитывая период косинуса 2π, т.е. точки повторяются каждые 360°, определим все решения данного неравенства: 2х ∈ [-π/3 + 2πk; π/3 + 2πk], k ∈ Z. х ∈ [-π/6 + πk; π/6 + πk], k ∈ Z. Можно решить это задание гораздо быстрее, если перебрать ответы: а) При х = π/3 получаем: 4cos2(π/3) - 3 = 4·(1/2)2 - 3 = 4·1/4 - 3 = 1 - 3 = -2 < 0. Как видно, х = π/3 не удовлетворяет условию, т.к. должно быть больше или равно нулю. Эти ответы вычеркиваем. б) Оставшиеся ответы рассмотрим при k = 1: Возьмем значение х = π, т.к. оно есть в одном ответе, но нет в другом. Получаем: 4cos2π - 3 = 4·(-1)2 - 3 = 4·1 - 3 = 1 > 0. Как видно, х = π удовлетворяет условию, поэтому ответ, содержащий это значение верный: [-π/6 + πk; π/6 + πk]. |
