Общий вид квадратного уравнения: ax² + bx + с = 0, где a - I коэффициент, b - II коэффициент, с - III коэффициент или свободный член.

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, если у него дискриминант больше 0 (D > 0).

Квадратное уравнение имеет один единственный корень (или говорят "два совпадающих корня"), если у него дискриминант равен 0 (D = 0).

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если у него дискриминант меньше 0 (D < 0).

Дискриминант вычисляется по формуле: D = b² - 4ac.

В данном случае уравнение должно иметь два совпадающих корня (т.е. фактически один корень), значит дискриминант равен нулю (D = 0).

То есть: b² - 4ac = 0.

Имеется уравнение х² – 2k(х + 1) – k2 + 6k = 0, где I коэффициент a = 1, II коэффициент b = -2k, III коэффициент с = 6k - k² - 2k = 4k - k².

Таким образом:

D = b² - 4ac = (-2k)² - 4*1*(4k - k²) = 4k² - 4*(4k - k²)= 0.

Разделим обе части на 4:

k² - (4k - k²)= 0.

k² - 4k + k² = 0.

2k² - 4k = 0.

Вынесем 2k за скобки:

2k(k - 2) = 0.

Как видно, k = 0 и k = 2.

Если подставить k = 0 в уравнение, то получится х² = 0, т.е. х = 0, что противоречит условию задания, т.к. требуется найти отличные от нуля корни.

Следовательно, остается только х = 2.